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Polygongeometrie: Fünfecke, Sechsecke und Dodekagone

Wir zeichnen ein Zehneck oder wie in der Fachsprache Polygon - GEOMETRIE FORMS Part: 3-1 (March 2024)

Wir zeichnen ein Zehneck oder wie in der Fachsprache Polygon - GEOMETRIE FORMS Part: 3-1 (March 2024)
Anonim

Nur wenige geometrische Formen sind so vielfältig wie Polygone. Sie enthalten das bekannte Dreieck, Quadrat und Fünfeck, aber das ist nur der Anfang.

In der Geometrie ist ein Polygon jede zweidimensionale Form, die die folgenden Bedingungen erfüllt:

  • Besteht aus drei oder mehr geraden Linien
  • Ist ohne Öffnungen oder Brüche in der Form geschlossen
  • Hat Linienpaare, die an den Ecken oder Scheitelpunkten miteinander verbunden sind, wo sie Winkel bilden
  • Hat eine gleiche Anzahl von Seiten und Innenwinkeln

Zweidimensional bedeutet flach wie ein Blatt Papier. Würfel sind keine Polygone, da sie dreidimensional sind. Kreise sind keine Polygone, da sie keine geraden Linien enthalten.

Über Polygone

Der Name Polygon kommt aus zwei griechischen Wörtern:

  • Poly , was bedeutetviele
  • Gon , was bedeutetWinkel

Formen, die Polygone sind

  • Dreiecke
  • Quadrate
  • Pentagone
  • Achtecke
  • Dodekagone wie die 12-seitige jamaikanische Münze

Wie werden Polygone benannt?

Die Namen der einzelnen Polygone ergeben sich aus der Anzahl der Seiten oder Innenwinkel, die die Form besitzt. Die Anzahl der Innenwinkel entspricht immer der Anzahl der Seiten.

Die gebräuchlichen Namen der meisten Polygone haben das griechische Präfix für die Anzahl der Winkel, die dem griechischen Wort für Winkel (gon) zugeordnet sind.

Die Präfixe und gebräuchlichen Namen für fünf- und sechsseitige reguläre Polygone lauten also:

  • Penta (Griechisch bedeutet fünf) + gon = Pentagon
  • Hexa(Griechisch bedeutet sechs) +gon= Hexagon

Es gibt Ausnahmen zu diesem Namensschema. Vor allem:

  • Dreieckverwendet das griechische PräfixTri, aber anstelle des griechischen gon , das lateinischeWinkel wird eingesetzt. Trigon wird selten verwendet.
  • Viereck wird aus dem lateinischen Präfix abgeleitetquadriVier, an das Wort angehängt seitlich,was ist eine andere lateinische WortbedeutungSeite .
  • Manchmal wird ein vierseitiges Polygon als a bezeichnetViereck oderTetragon.

N-Gons

Es gibt Polygone mit mehr als 10 Seiten und Winkeln, und einige haben gebräuchliche Namen, beispielsweise die 100-seitigeHektogon .

Sie sind selten anzutreffen, weshalb sie oft einen Namen erhalten, der die Anzahl der Seiten und Winkel mit dem allgemeinen Begriff für Winkel verbindet gon.

Ein 100-seitiges Polygon wird also als bezeichnet 100 gon.

Manch andere n-gonsund gebräuchliche Namen für Polygone mit mehr als 10 Seiten sind:

  • 11-Gon: Hendecagon
  • 12-Gon: Zwölfeck
  • 20-Gon: Icosagon
  • 50-gon: Pentecontagon
  • 1000-gon: Chiliagon
  • 1000000-gon: Megagon

Polygongrenze

Theoretisch gibt es keine Begrenzung für die Anzahl der Seiten und Winkel eines Polygons.

Wenn die Innenwinkel eines Polygons kleiner werden und die Seitenlänge kürzer wird, nähert sich das Polygon einem Kreis, kommt jedoch nie ganz dorthin.

Klassifizieren von Polygonen

Normal gegen unregelmäßige Polygone

In einem regulären Polygon sind alle Winkel gleich groß und alle Seiten gleich lang.

Ein unregelmäßiges Polygon ist ein Polygon, das nicht gleich große Winkel und gleich lange Seiten hat.

Konvexe vs. konkave Polygone

Eine zweite Möglichkeit, Polygone zu klassifizieren, ist die Größe ihrer Innenwinkel. Sie sind entweder konvex oder konkav :

  • Konvex Polygone haben keine inneren Winkel größer als 180 °.
  • Konkav Polygone haben mindestens einen Innenwinkel, der größer als 180 ° ist.

Einfache versus komplexe Polygone

Eine andere Methode zum Klassifizieren von Polygonen besteht übrigens darin, dass sich die Linien, die das Polygon bilden, überschneiden.

  • Die Zeilen von einfache Polygone Verbinden oder kreuzen Sie nur einmal - an den Scheitelpunkten.
  • Die Zeilen von komplexe Polygone mehr als einmal schneiden.

Die Namen komplexer Polygone unterscheiden sich manchmal von denen einfacher Polygone mit der gleichen Anzahl von Seiten.

Zum Beispiel,

  • Eine regelmäßige FormHexagon ist ein sechsseitiges einfaches Polygon.
  • Eine sternförmige Hexagramm ist ein sechsseitiges komplexes Polygon, das durch Überlappen zweier gleichseitiger Dreiecke erstellt wird.

Summe der Innenwinkelregel

In der Regel wird jedes Mal, wenn eine Seite zu einem Polygon hinzugefügt wird, z.

  • Vom Dreieck zum Viereck (drei bis vier Seiten)
  • Vom Fünfeck zum Sechseck (fünf bis sechs Seiten)

Die Summe der Innenwinkel wird um weitere 180 ° addiert.

Diese Regel kann als Formel geschrieben werden:

(n - 2) × 180 °

Dabei ist n gleich der Anzahl der Seiten des Polygons.

So kann die Summe der Innenwinkel für ein Sechseck mithilfe der folgenden Formel ermittelt werden:

(6 - 2) × 180° = 720°

Wie viele Dreiecke in diesem Polygon?

Die obige Innenwinkelformel wird abgeleitet, indem ein Polygon in Dreiecke unterteilt wird. Diese Zahl kann bei der Berechnung ermittelt werden:

n - 2

wobei n wiederum gleich der Anzahl der Seiten des Polygons ist.

Ein Sechseck (sechs Seiten) kann in vier Dreiecke (6 - 2) und ein Zwölfeck in 10 Dreiecke (12 - 2) unterteilt werden.

Winkelgröße für reguläre Polygone

Bei regulären Polygonen, bei denen Winkel alle die gleiche Größe haben und die Seiten alle gleich lang sind, kann die Größe jedes Winkels in einem Polygon berechnet werden, indem die Gesamtzahl der Grad durch die Gesamtanzahl der Seiten geteilt wird.

Bei einem regulären sechseckigen Sechseck ist jeder Winkel:

720° ÷ 6 = 120°

Einige bekannte Polygone

Dreieckige Traversen

Dachbinder sind oft dreieckig. Je nach Breite und Neigung des Daches kann der Binder gleichseitige oder gleichschenklige Dreiecke enthalten.Wegen ihrer großen Stärke werden Dreiecke beim Bau von Brücken und Fahrradrahmen verwendet, und sie sind im Eiffelturm prominent.

Das Pentagon

Das Pentagon - das Hauptquartier des US-Verteidigungsministeriums - hat seinen Namen von seiner Form. Es ist ein fünfeckiges Fünfeck.

Hauptplatte

Ein anderes bekanntes fünfeckiges, fünfeckiges Fünfeck ist die Grundplatte eines Baseball-Diamanten.

Das gefälschte Pentagon

Ein riesiges Einkaufszentrum in der Nähe von Shanghai, China, hat die Form eines regelmäßigen Fünfecks und wird manchmal als Fake Pentagon bezeichnet.

Schneeflocken

Jede Schneeflocke fängt als sechseckige Platte an, aber Temperatur und Feuchtigkeit fügen Äste und Ranken hinzu, sodass jede anders aussieht.

Bienen und Wespen

Natürliche Sechsecke umfassen auch Bienenstöcke, bei denen jede Zelle in einer Bienenwabe, die die Bienen zum Halten von Honig aufbauen, sechseckig ist. Die Nester der Papierwespen enthalten auch sechseckige Zellen, in denen sie ihre Jungen großziehen.

Der Damm des Riesen

Sechsecke befinden sich auch im Giant's Causeway im Nordosten Irlands. Es handelt sich um eine natürliche Felsformation, die aus etwa 40.000 ineinandergreifenden Basaltsäulen besteht, die durch die langsame Abkühlung der Lava aus einem uralten Vulkanausbruch entstanden sind.

Das achteck

Das Octagon - der Name des Rings oder Käfigs, der in Ultimate Fighting Championship (UFC) -Kämpfen verwendet wird - hat seinen Namen von der Form. Es ist ein achteckiges Achteck mit acht Seiten.

Stopp Schilder

Das Stoppschild - eines der bekanntesten Verkehrszeichen - ist ein weiteres achtseitiges Achteck. Obwohl die Farbe und der Wortlaut oder die Symbole auf dem Schild variieren können, wird die achteckige Form des Stoppzeichens in vielen Ländern der Welt verwendet.