Mathematisch ist eine Menge eine Sammlung oder Liste von Objekten. Sets bestehen nicht nur aus Zahlen, sondern können Folgendes enthalten:
- das Essen in Ihrem Kühlschrank;
- die Planeten im Sonnensystem;
Obwohl Sets alles enthalten können, beziehen sie sich oft auf Zahlen, die zu einem Muster passen oder in einer bestimmten Beziehung stehen, z.
- Satz positiver gerader Zahlen kleiner als 10: (0, 2, 4, 6, 8);
- Satz von Faktoren für die Zahl 12: (1, 2, 3, 4, 6, 12).
Notation einstellen
Die Objekte in einem Set werden aufgerufen Elemente und die folgende Notation oder Konventionen werden mit Sets verwendet:
- Einzelne Großbuchstaben werden zur Identifizierung von Gruppen verwendet, z J, E, oder F ;
- Kleinbuchstaben oder Zahlen werden für Elemente eines Satzes verwendet.
- Geschweifte Klammern {} bezeichnen eine Liste von Elementen in einem Satz;
- Kommas werden verwendet, um Set-Elemente zu trennen.
Beispiele für die Satznotation wären also:
J = {Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun}
E = {0, 2, 4, 6, 8};
F = {1, 2, 3, 4, 6, 12};
Elementreihenfolge und Wiederholung
Elemente in einem Satz müssen nicht in einer bestimmten Reihenfolge sein, daher könnte der Satz J auch folgendermaßen geschrieben werden:
J = {Saturn, Jupiter, Neptun, Uranus}
oder
J = {Neptun, Jupiter, Uranus, Saturn}
Wiederholende Elemente ändern den Satz auch nicht, also:
J = {Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun}
und
J = {Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun, Jupiter, Saturn}
sind gleich, weil beide nur vier verschiedene Elemente enthalten: Jupiter, Saturn, Uranus und Neptun.
Sets und Ellipsen
Wenn es einen gibt unendlich - oder unbegrenzt - Die Anzahl der Elemente in einem Satz wird durch Auslassungszeichen (…) angezeigt, dass das Muster des Satzes für immer in dieser Richtung fortgesetzt wird.
Zum Beispiel beginnt die Menge der natürlichen Zahlen bei Null, hat aber kein Ende und kann daher in folgender Form geschrieben werden:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Ein anderer spezieller Satz von Zahlen, der kein Ende hat, ist der Satz von Ganzzahlen. Da Ganzzahlen positiv oder negativ sein können, verwendet der Satz an beiden Enden Ellipsen, um anzuzeigen, dass der Satz in beide Richtungen für immer fortgesetzt wird:
{…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}
Eine andere Verwendung für Ellipsen ist das Füllen der Mitte eines großen Satzes wie:
{0, 2, 4, 6, 8, …, 94, 96, 98, 100}
Die Ellipse zeigt, dass das Muster - nur gerade Zahlen - durch den ungeschriebenen Abschnitt des Satzes fortgesetzt wird.
Spezielle Sets
Spezielle Sätze, die häufig verwendet werden, werden mit bestimmten Buchstaben oder Symbolen gekennzeichnet. Diese schließen ein:
- Ø oder{ } - der leere Satz - ein Satz, der keine Elemente enthält ;
- U - der universelle Satz - ein Satz, der alle Elemente in Bezug auf eine bestimmte Satzdefinition enthält ;
- Z - die Menge aller ganzen Zahlen:Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …};
- N - natürliche Zahlen (positive ganze Zahlen):N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}.
Roster vs. Beschreibungsmethoden
Schreiben oder Auflisten der Elemente eines Satzes, z. B. des inneren oder des Satzes terrestrisch Planeten in unserem Sonnensystem, wird als bezeichnet Dienstplan-Notation oder der Dienstplanmethode .
T = {Quecksilber, Venus, Erde, Mars}
Eine weitere Möglichkeit zur Identifizierung der Elemente eines Sets ist die Verwendung der beschreibende Methode, welche eine kurze Anweisung oder einen Namen verwendet, um die Menge zu beschreiben, wie:
T = {die terrestrischen Planeten}
Set-Builder-Notation
Eine Alternative zu den Dienstplänen und den beschreibenden Methoden ist die Verwendung Set-Builder-Notation , eine Abkürzungsmethode, die die Regel beschreibt, der die Elemente der Gruppe folgen (die Regel, die sie zu Mitgliedern einer bestimmten Gruppe macht) .
Die Set-Builder-Notation für die Menge der natürlichen Zahlen größer als Null ist:
x ∈ N, x > 0
oder
{x: x ∈ N, x > 0}
In der Set-Builder-Notation ist der Buchstabe "x" eine Variable oder ein Platzhalter, der durch einen anderen Buchstaben ersetzt werden kann.
Kurzschriftzeichen
Abkürzungszeichen, die mit der Set-Builder-Notation verwendet werden, sind:
- Der vertikale Balken oder Doppelpunkt (| oder: Zeichen) - werden als Trennzeichen gelesen so dass;
- Das Epsilon in Kleinbuchstaben (∈ Zeichen) - wird gelesen als ist ein Element von;
- Das ∉ Zeichen - wird gelesen als kein Element von.
So, x ∈ N, x > 0 würde gelesen werden als:
"Die Menge von allen x , so dass x ist ein Element von Die Menge der natürlichen Zahlen und x ist größer als 0. "
Sets und Venn-Diagramme
Ein Venn-Diagramm - manchmal als a bezeichnet Diagramm einstellen - wird verwendet, um Beziehungen zwischen den Elementen verschiedener Mengen anzuzeigen.
In der Abbildung oben zeigt der überlappende Abschnitt des Venn-Diagramms den Schnittpunkt der Mengen E und F (Elemente, die beiden Mengen gemeinsam sind).
Darunter ist die Set-Builder-Notation für die Operation aufgeführt (das umgedrehte "U" bedeutet Schnittmenge):
E ∩ F = x
Der rechteckige Rahmen und der Buchstabe U in der Ecke des Venn-Diagramms stellen die universelle Menge aller Elemente dar, die für diese Operation in Betracht gezogen werden:
U = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}
